Задача
Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?
Решение
Заметим, что (n + 7)³ – (n + 6)³ – (n + 5)³ + (n + 4)³ – (n + 3)³ + (n + 2)³ + (n + 1)³ – n³ = 48. С другой стороны, число (48k + 1)³ при любом k даёт при делении на 48 остаток 1. Складывая такие кубы, можно получить сумму с любым наперёд заданным остатком от деления на 48, а потом, прибавляя или вычитая нужное количество раз комбинации, равные 48 и состоящие из разных чисел, получить любое число с таким остатком.
Ответ
Каждое.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет