Разделим обе части уравнения на 2, получим$x^x=\sqrt{1/2}$. Нетрудно проверить, что x=1/2 и x=1/4 - решения. Покажем, что других решений нет. Найдем промежутки монотонности функции x^x. Ее производная (x^x)'=(e^xlnx)'=(lnx+1)(e^xlnx)=(lnx+1)(x^x) отрицательна на интервале (0, 1/e) и положительна на луче x > 1/e. Следовательно, функция x^xмонотонна на каждом из этих промежутков, и значит, всего имеется не более двух положительных решений нашего уравнения.

x=1/4, x=1/2.