Задача
Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)... = (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1...
(По определению считается, что p(0) = 1.)
Решение
Представим n в виде суммы k1 единиц, k2 двоек, k3 троек, … . Поставим в соответствие такому разбиению одночлен xn = xk1x2k2x3k3...,
где множитель xk1 берется из первой скобки, x2k2 – из второй, x3k3 – из третьей, ... . Ясно, что количество таких одночленов (коэффициент
при xn после раскрытия скобок и приведения подобных) равно p(n), что и доказывает левое равенство.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет