Задача
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Решение
Оценка. Поскольку уравнение пятой степени имеет не более пяти корней, то аналогично решению задачи 164349 доказывается, что всего чисел не могло быть больше 50. Пример. Пусть были выбраны многочлены Pk(x) = x + (x – 5k + 4)(x – 5k + 3)...(x – 5k) при k = 1, 2, ..., 10 и Вася называл числа 1, 2, ..., 50. Так как
Pk(5k – i) = 5k – i при i = 0, 1, ..., 4, у Пети могли получаться последовательно числа 1, 2, , 50.
Ответ
50 чисел.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь