Будем считать, что точка Y лежит ближе к точке B, чем Z; кроме того, пусть сторона BC горизонтальна, а A лежит выше неё (см. рис.).

  Обозначим через ω_Aуказанную вневписанную окружность, а через ω' – вневписанную окружность треугольникаXYZ, касающуюся стороныXZ. Пусть ω касаетсяBCв точкеA''. Обозначим черезTточку пересеченияAA'и ω, лежащую ближе кA. Гомотетия с центромA, переводящая ω в ω_A, переводитTвA'; значит, касательная к ω вTпараллельнаBC.   Поскольку окружности ω и ω' вписаны в вертикальные углы, образованные прямымиXYиXZ, существует гомотетия с центром вX(и отрицательным коэффициентом), переводящая ω в ω'. При этой гомотетии точкаTпереходит в самую нижнюю точку окружности ω'. С другой стороны, эта точка лежит на прямойAA', значит, она совпадает сA'. Таким образом, ω' касаетсяBCв точкеA'.   Обозначим полупериметр треугольникаXYZчерезp. Так как окружности ω и ω' – вневписанные для этого треугольника, то  ZA' = YA'' = p – YZ.  Значит, XY + XZ= 2p – YZ= 2(p – YZ) +YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'',  то есть не зависит от выбора точкиX.

Ответ задачи отсутствует