Рациональность сумм синусов и косинусов
Задача
Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Решение
Заметим. что число S² + C² = (sin²64x + cos²64x) + (sin²65x + cos²65x) + 2(sin 64x sin 65x + cos 64x cos 65x) = 2 + 2cos(65x – 64x) = 2 + 2cos x рационально, откуда cos x – также рациональное число. Ввиду формулы cos 2a = 2cos²a – 1, все числа вида cos 2ka также рациональны – в частности, cos 64x. Поскольку C рационально, то и второе слагаемое в этой сумме также рационально.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет