Задача
В параллелограмме $ABCD$ точки $E$ и $F$ выбираются на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно так, что $EF=ED=DC$. Пусть $M$ – середина $BE$, а $MD$ пересекает $EF$ в точке $G$. Докажите, что углы $EAC$ и $GBD$ равны.
Решение
Обозначим точку пересечения прямых $AD$ и $BG$ через $H$. Так как $BE\parallel FH$, а $GM$ – медиана треугольника $BEG$, то $GD$ – медиана треугольника $GFH$. Поскольку $CE\parallel DFH$ и $CD=DE=EF$, получаем, что отрезок $CH$ также равен эти трем отрезкам.
Рассмотрим треугольники $ACE$ и $BHD$. Как показано выше, $CE=DH$. Так как $AB=CD=DE$ и $AD\parallel BE$, то $ABED$ – равнобокая трапеция, т.е. $AE=BD$. Аналогично получаем, что $ABCH$ – равнобокая трапеция и $AC=BH$.
Таким образом треугольники $ACE$ и $BHD$ равны. Следовательно, $\angle CAE=\angle HBD=\angle GBD$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь