Задача
В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?
Решение
Рассмотрим звёздчатый октаэдр (см. рисунок). Его можно рассматривать как объединение двух правильных тетраэдров с общим центром, пересекающихся по октаэдру, или как октаэдр, у которого «продлены» грани. В центре каждой грани обоих тетраэдров поместим лампочку и возьмём круги, содержащие эту грань. Ясно, что все лучи не выйдут за пределы звёздчатого октаэдра и тем более за пределы наших кругов.
Ответ
Могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь