Решение 1:   Предположим сначала, что мы имеем денежную сумму в 10 рублей или больше. Покажем, что любая такая сумма может быть представлена как чётным, так и нечётным количеством денежных билетов. Именно, любая чётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, чётным числом билетов достоинством в 1 рубль, а с другой – одним билетом в 10 рублей и ещё чётным числом билетов по одному рублю. Точно так же, любая нечётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, нечётным числом билетов по одному рублю, а с другой – одним билетом в 10 рублей и ещё нечётным числом билетов по одному рублю.

  Рассмотрим теперь денежные суммы, меньшие 10 рублей. Для представления этих сумм в нашем распоряжении имеются лишь билеты достоинством в 1, 3, 5 рублей – все нечётные. Понятно, что нечётное число "нечётных" билетов могут составить лишь нечётную сумму; следовательно, никакую чётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить нечётным числом билетов. Аналогично чётное число "нечётных" билетов могут составить лишь чётную сумму; следовательно, никакую нечётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить чётным числом билетов.

Решение 2:Все суммы, не меньшие 10 руб., можно оплатить десятирублёвыми и рублёвыми купюрами, причём обязательно использовав десятирублевку. Если при этом получится чётное число купюр, то одну десятирублёвую бумажку можно заменить двумя купюрами по 5 руб., то есть эту сумму можно оплатить и нечётным числом купюр. То же можно сказать, если сначала имеем нечётное число купюр. Для выплаты сумм, меньших 10 руб., имеются купюры в нечётное число рублей. Поэтому эти суммы можно выплатить лишь одним способом: чётную сумму – чётным, а нечётную – нечётным числом купюр.

Все суммы, не меньшие 10 рублей.