Ответ:можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя.

При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому послеnразрезов будет (n+ 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число вершин во всех кусках вместе послеnразрезов. При каждом разрезании общее число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через 2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то послеnразрезов во всех кусках вместе будет не больше чем 4n+ 4 вершины.

Предположим, что послеNразрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так как при этом общее число полученных кусков будетN+ 1, то, кроме этих двадцатиугольников, будет ещёN+ 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет не меньше чем100 ^. 20 + (N- 99) ^. 3. Как было доказано раньше, это число не больше чем 4N+ 4. Значит, 4N+ 4 ≥ 100 · 20 + (N− 99)·3 = 3N+ 1703, откудаN≥ 1699.

Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства. Покажем теперь, как можно получить 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямоугольников (99 разрезов) и каждый прямоугольник за 16 разрезов превратим в двадцатиугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего будет 1699 разрезов.

<style type="text/css"> div.p { margin-top: 7pt;}</style><style type="text/css"></style><title>Ответ</title>Можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя.