Задача
На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.
Решение
Возьмём одну из данных прямых и рассмотрим все точки пересечения данных прямых, не лежащие на выбранной прямой, и выберем среди них ближайшую. Среди кусков, на которые разрезана плоскость, есть треугольник, одна вершина которого — выбранная точка, а две другие лежат на выбранной прямой. Действительно, треугольник, образованный выбранной прямой и двумя прямыми, проходящими через выбранную точку, не могут пересекать другие прямые.
Мы сопоставили каждой прямой треугольник, причём один и тот же треугольник не может соответствовать более чем трём разным прямым. Поэтому количество треугольников не меньше 300/3 = 100.Примечание Problems.Ru: На самом деле, среди кусков разбиения найдется не менее 298 трегольников (см. статью "Треугольники и катастрофы" Канель, Ковальджи, "Квант" 11, 1992г.)
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь