Олимпиадная задача по стереометрии и принципу Дирихле для 10-11 класса от Шаповалова
Задача
Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.
Решение
В прямой призме каждая боковая грань – прямоугольник, поэтому φ = 90° подходит.
Допустим, φ ≠ 90°. Можно считать, что φ < 90° (если в параллелограммах равны тупые углы, то равны и острые). Проведём в плоскости основания через одну из вершин V прямые, параллельные каждому из рёбер основания. Эти прямые образуют угол φ с выходящим из V боковым ребром r. Однако таких прямых в данной плоскости – не более двух (всевозможные прямые, проходящие через V под углом φ к r образуют поверхность конуса; она пересекает плоскость основания не более чем по двум прямым). Итак, для рёбер основания есть только два направления. Поэтому не менее трёх рёбер направлены одинаково. Два из них окажутся соседями. Противоречие.
Ответ
90°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь