Олимпиадная задача: многочлен с целыми коэффициентами для суммы корней √7 и √11

Задача 207816 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число + .

Введем обозначения a = , b = , x = a + b. Заметим, что ab = 1, то есть x = a + ¹/_a. Воспользуемся формулами

Подставляя значение a³ +¹/_a³ из второго равенства в первое, получаем

Отсюда, учитывая, что a⁵+b⁵= 4, получаем x⁵= 4 + 5(x³ – 3x) + 10x, или x⁵– 5x³ + 5x– 4 = 0.

x⁵ – 5x³ + 5x – 4.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Комментариев нет