Олимпиадная задача по планиметрии: Высоты треугольника, окружность и соотношение отрезков
Задача
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину B , касается стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что BK:AK=5:1. Найдите длину стороны BC .
Решение
Пусть BH – высота треугольника ABC . Поскольку окружность с центром O касается прямой AC и OH 
AC , эта окружность касается AC в точке H и BH – её диаметр. Точка K лежит на окружности с диаметром BH ,
поэтому 
BKH = 90o , значит, HK – высота прямоугольного
треугольника AHB , проведённая из вершины прямого угла. Обозначим AK=t .
Тогда BK=5t , AB=6t и BH2=AB· BK , или4R2=5t· 6t ,
откуда находим, что t=
R .
Обозначим BAC = α . Из прямоугольного треугольника BAH находим,
что
sin α = 
= 
= 
=
= 
.
cos α = 
, tg α = 
.
HC = OH ctg (90o-α) = OH tg α = R.
BC=
= 
= 3R.
Ответ
3R .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5843 |
Ответ
3R .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь