Математическая задача: площадь трапеции ABCD — олимпиадная планиметрия 8-9 класс

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площадь трапеции ABCD

Задача

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если CD=6 , AE=8.

Решение

Точки B и E лежат на окружности с диаметром AC , поэтому BAE= ABC = AEC = 90^o и ABCE – прямоугольник; AC – диаметр окружности, касающейся прямой CD в точке C , поэтому ACD=90^o . Значит, CE – высота прямоугольного треугольника ACD , проведённая из вершины прямого угла, поэтому CD2 = DE· AD , или108 = DE(DE+8), откуда находим, что DE = 18. Тогда