Математическая олимпиадная задача – рациональные функции, 8

Олимпиадная задача по рациональным функциям для 8-11 классов: вещественные и рациональные значения

Докажите, что если выражение принимает рациональное значение, то и выражение также принимает рациональное значение.

Пусть =a , где a — рациональное число.

Если a=0, то x=0, тогда =0, то есть рационально.
Если a 0, то x 0, тогда ==a , откуда x+=-1. Следовательно, = = = = . Заметим, что a , иначе x+=1, что невозможно ни при каких x . При любых других рациональных значениях а выражение принимает рациональные значения, что и требовалось.