Олимпиадная задача по тригонометрии и индукции: возможно ли получить 2010 из 1?
Задача
Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)
Решение
Пусть f(x) = ctg (arctg x) = 1/x, g(x) = sin (arctg x) = 
. По индукции проверим, что gn(x) = g(gn–1(x)) = 
.
Взяв n = 2010² – 1, получим что gn(1) = 1/2010, откуда f(gn(1)) = 2010.
Ответ
Можно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет