Олимпиадная задача по тригонометрии для 10-11 классов: иррациональность косинуса
Задача
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Решение
Предположим противное. Тогда число A = cos α + cos 5α иррационально как сумма рационального и иррационального. С другой стороны,
A = 2 cos 2α cos 3α рационально как произведение трёх рациональных чисел. Противоречие.
Ответ
Не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет