Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 2-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.

Решите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

Доказать, что выражение <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_3.gif">

</i></center> равно 2, если<i> 1<= a <= 2 </i>, и равно<i> 2<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_4.gif"> </i>, если<i> a>2 </i>.

Сравните без помощи калькулятора числа:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i>² + <i>x</i>)² + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>

Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.

Решите уравнение${\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}}$+<i>x</i>²- 4 = 0.

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?

Решить уравнение:  <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.

Известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66357/problem_66357_img_2.gif">   где  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66357/problem_66357_img_3.gif">

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

Что больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_3.gif">

Известно, что  <i>а</i> > 1.  Обязательно ли имеет место равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Существует ли такое <i>x</i>, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64834/problem_64834_img_2.gif"> ?

<b>``1 = - 1''.</b>Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1. </div>После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:<div align="CENTER"> -1 = <i>i</i>² = $\displaystyle \sqrt{-1}$<sup> . </su...

Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>

Докажите, что уравнение   (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">   не имеет решений в рациональных числах.

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>