Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 9-10 класса - сложность 4-5 с решениями
Модуль числа
НазадДаны числа<i>а</i><sub>1</sub>, ...,<i>а<sub>n</sub></i>. Для 1 ≤<i>i</i>≤<i>n</i>положим
<center>
<i>d<sub>i</sub></i> = MAX { <i>a<sub>j</sub></i> | 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>i</i> } - MIN { <i>a<sub>j</sub></i> | <i>i</i> ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i> }
<i>d</i> = MAX { <i>d<sup>i</sup></i> | 1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>n</i> } </center> а) Доказать, что для любых<i>x</i><sub>1</sub>≤<i>x</i><sub>2</sub>≤ ... ≤<i>x</i><sub>n</sub>выполняется неравенство
<center&g...
За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
Если разность между наибольшим и наименьшим из<nobr><i>n</i> данных</nobr>вещественных чисел<nobr>равна <i>d</i>,</nobr>а сумма модулей всех<nobr><i>n</i>(<i>n</i> – 1)/2</nobr>попарных разностей этих чисел<nobr>равна <i>s</i>,</nobr>то(<i>n</i> – 1)<i>d</i> <font face="Symbol">£</font> <i>s</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i><sup>2</sup><i>d</i>/4.Докажите это.