Олимпиадные задачи по теме «Инварианты и полуинварианты» для 6-8 класса - сложность 5 с решениями

Даны точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n. Рассмотрим окружность радиуса <i>R</i>, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса <i>R</i>с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.