Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Четность» для 10-11 класса - сложность 1-2 с решениями

Предположим, что требуется передать сообщение, состоящее из <i>n</i>² нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблици <i>n</i>×<i>n</i>. Допишем к каждой строке сумму её элементов по модулю 2. Получится еще один столбец высоты <i>n</i>. Аналогично поступим с каждым столбцом (в том числе найдём и сумму элементов дописанного столбца). Например, если требуется передать сообщение 0111, то таблица 2×2 (рис. слева) окажется дополненной до таблицы 3×3 (рис. справа). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60648/problem_60648_img_2.gif"></div>  а) Докажите, что если при передаче расширенной таблицы  (<i>n</i>+1)×(<i>n</i>+1)  произойдёт одна ошибка, то эту ошибку можно б...

Город имеет форму квадрата 5×5: <div align="CENTER"><img width="81" height="81" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/60632/problem_60632_img_2.gif"></div>Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)

В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.

Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.