Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» для 2-8 класса - сложность 3 с решениями
параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
НазадНайти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
Найдите (<i>x<sup>n</sup></i> – 1, <i>x<sup>m</sup></i> – 1).
Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):
а) <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1, <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;
б) <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i><sup>4</sup> – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...
Пусть (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).
Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>), deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно и <i>P</i>(<i>x</i>) не делится на <i>Q</i>(<i>x</i>). Докажите, что при некотором <i>s</i> ≥ 1 существуют такие многочлены <i>A</i><sub>0</sub>(<i>x</i>), <i>A</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>A<sub>s</sub></i>(<i>x</i>) и <i>R</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>R<sub>s</sub></i>(<i>x</i>), что deg<i>Q</i>(<i>x</i>) > deg<i>R</...
Найдите остаток <i>R</i>(<i>x</i>) от деления многочлена <i>x<sup>n</sup> + x</i> + 2 на <i>x</i>² – 1.
Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.
При каких <i>n</i> многочлен 1 + <i>x</i>² + <i>x</i><sup>4</sup> + ... + <i>x</i><sup>2<i>n</i>–2</sup> делится на 1 + <i>x + x</i><sup>2</sup> + ... + <i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup>?
Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ + <i>kxyz</i> делилось на <i>x + y + z</i>.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) дает остаток 2 при делении на <i>x</i> – 1, и остаток 1 при делении на <i>x</i> – 2.
Какой остаток дает <i>P</i>(<i>x</i>) при делении на многочлен (<i>x</i> – 1)(<i>x</i> – 2)?
Докажите, что многочлен степени <i>n</i> имеет не более чем <i>n</i> корней.