Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями
параграф 5. Теорема Виета
НазадИзвестно, что целые числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют равенству <i>a + b + c</i> = 0. Докажите, что 2<i>a</i><sup>4</sup> + 2<i>b</i><sup>4</sup> + 2<i>c</i><sup>4</sup> – квадрат целого числа.
а) Числа <i>a, b, c</i> являются тремя из четырёх корней многочлена <i>x</i><sup>4</sup> – <i>ax</i><sup>3</sup> – <i>bx + c</i>. Найдите все такие многочлены.
б) Числа <i>a, b, c</i> являются корнями многочлена <i>x</i><sup>4</sup> – <i>ax</i><sup>3</sup> – <i>bx + c</i>. Найдите все такие многочлены.
Решите системы: а) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б) <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2, <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2, <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в) <i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> + <i>x + y</i> = 32, 12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д) <i>x + y + z</i> = 1, <i>xy + xz + yz</i> = –4, <i>x</i><sup>3</sup> + <i>y</i><sup>3</sup> + <i>z</i><sup>3</sup>...