Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета» для 7-8 класса - сложность 2-4 с решениями

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

При каких <i>a</i> и <i>b</i> уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax + b</i> = 0  имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Известно, что целые числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют равенству  <i>a + b + c</i> = 0.  Докажите, что  2<i>a</i>⁴ + 2<i>b</i>⁴ + 2<i>c</i>⁴  – квадрат целого числа.

а) Числа <i>a, b, c</i> являются тремя из четырёх корней многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

б) Числа <i>a, b, c</i> являются корнями многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

Решите системы: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б)  <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2,  <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2,  <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>x + y</i> = 32,  12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д)  <i>x + y + z</i> = 1,  <i>xy + xz + yz</i> = –4,  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i><sup>3</sup&gt...

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 0,  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² = 1.  Найдите  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.