Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Преобразования комплексной плоскости»

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61161/problem_61161_img_2.gif">  с  δ = <i>ad – bc</i> ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>.

Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно-однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

Как действуют отображения  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_2.gif">  и  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_3.gif">  в случае, когда  δ = <i>ad – bc</i> = 0?

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Найдите

а) образ окружности  |<i>z – a – bi</i>| = <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_2.gif">  при отображении <i>w</i> = ¹/_<i>z</i>;

б) образ окружности  |<i>z – a</i>| = <i>R</i>  при отображении  <i>w</i> = <img width="97" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_3.gif">.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">