Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Системы линейных уравнений» для 10 класса - сложность 2 с решениями
параграф 4. Системы линейных уравнений
НазадДано 100 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>, удовлетворяющих условиям:
<i>a</i><sub>1</sub> – 4<i>a</i><sub>2</sub> + 3<i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>2</sub> – 4<i>a</i><sub>3</sub> + 3<i>a</i><sub>4</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>3</sub> – 4<i>a</i><sub>4</sub> + 3<i>a</i><sub>5</sub> ≥ 0,
...,
<i>a</i><sub>99</sub> – 4<i>a</i><sub>100</sub> +...
Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?
Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="130" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_3.gif">б) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="138" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/...
За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?
На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">
б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...
Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...