Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
глава 10. Делимость-2
НазадНайти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.
а) Пусть <i>p</i> – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (<i>p</i> единиц) не делится на p. б) Пусть <i>p</i> > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (<i>p</i> – 1 единица) делится на p.
Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Докажите, что
а) <i>p<sup>q</sup> + q<sup>p</sup> ≡ p + q</i> (mod <i>pq</i>); б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30681/problem_30681_img_2.gif"> – чётное число, если <i>p, q</i> ≠ 2.
Найдите остаток от деления 3<sup>102</sup> на 101.
Решите уравнение <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1 в целых числах.
Решить в целых числах уравнение 3<sup><i>m</i></sup> + 7 = 2<sup><i>n</i></sup>.
Последовательность <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... натуральных чисел такова, что <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>a<sub>n</sub></i> + 1 при всех <i>n</i>.
а) <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
б) Докажите, что <i>a<sub>n</sub></i> – 22 – составное число при любом <i>n</i> > 10.