Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Подобные фигуры» для 2-10 класса - сложность 1-3 с решениями
параграф 6. Подобные фигуры
НазадНа отрезке <i>AC</i>взята точка <i>B</i>и на отрезках <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>построены полуокружности<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>по одну сторону от<i>AC</i>.<i>D</i> — такая точка на<i>S</i><sub>3</sub>, что<i>BD</i>$\perp$<i>AC</i>. Общая касательная к<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>, касается этих полуокружностей в точках<i>F</i>и<i>E</i>соответственно. а) Докажите, что прямая <i>EF</i>параллельна касательной к<i>S</i><sub>3</sub>, п...
Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>из середины <i>H</i>основания <i>BC</i>опущен перпендикуляр <i>HE</i>на боковую сторону <i>AC</i>;<i>O</i> — середина отрезка <i>HE</i>. Докажите, что прямые <i>AO</i>и<i>BE</i>перпендикулярны.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Постройте две прямые<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы для любой точки <i>M</i>на стороне <i>AC</i>сумма длин отрезков <i>MX</i><sub>M</sub>и<i>MY</i><sub>M</sub>, проведенных из точки <i>M</i>параллельно прямым<i>x</i>и<i>y</i>до пересечения со сторонами <i>AB</i>и<i>BC</i>треугольника, равнялась 1.
В треугольник вписана окружность радиуса <i>r</i>. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть <i>r</i><sub>1</sub>, <i>r</i><sub>2</sub>, <i>r</i><sub>3</sub> – радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что <i>r</i><sub>1</sub> + <i>r</i><sub>2</sub> + <i>r</i><sub>3</sub> = <i>r</i>.