Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Подобные фигуры» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 6. Подобные фигуры
НазадВ равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>из середины <i>H</i>основания <i>BC</i>опущен перпендикуляр <i>HE</i>на боковую сторону <i>AC</i>;<i>O</i> — середина отрезка <i>HE</i>. Докажите, что прямые <i>AO</i>и<i>BE</i>перпендикулярны.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Постройте две прямые<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы для любой точки <i>M</i>на стороне <i>AC</i>сумма длин отрезков <i>MX</i><sub>M</sub>и<i>MY</i><sub>M</sub>, проведенных из точки <i>M</i>параллельно прямым<i>x</i>и<i>y</i>до пересечения со сторонами <i>AB</i>и<i>BC</i>треугольника, равнялась 1.
В треугольник вписана окружность радиуса <i>r</i>. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть <i>r</i><sub>1</sub>, <i>r</i><sub>2</sub>, <i>r</i><sub>3</sub> – радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что <i>r</i><sub>1</sub> + <i>r</i><sub>2</sub> + <i>r</i><sub>3</sub> = <i>r</i>.