Олимпиадные задачи из источника «параграф 12. Неравенства для остроугольных треугольников» для 7-10 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> 2(<i>B</i>₁<i>C</i>₁cos$\displaystyle \alpha$ + <i>C</i>₁<i>A</i>₁cos$\displaystyle \beta$ + <i>A</i>₁<i>B</i>₁cos$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \geq$ <i>a</i> cos$\displaystyle \alpha$ + <i>b</i> cos$\displaystyle \beta$ + <i&g...

Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.

Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90^<tt>o</tt>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.