Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Высоты» для 4-11 класса - сложность 3-5 с решениями

Пусть <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что тогда <i>h</i>_a+<i>h</i>_b+<i>h</i>_c$\leq$3<i>b</i>(<i>a</i>²+<i>ac</i>+<i>c</i>²)/(4<i>pR</i>).

Докажите, что <i>h</i>_a$\leq$(<i>a</i>/2)<i>ctg</i>($\alpha$/2).

Докажите, что <i>h</i>_a$\leq$$\sqrt{r_br_c}$.

Пусть <i>a</i><<i>b</i>. Докажите, что <i>a</i>+<i>h</i>_a$\leq$<i>b</i>+<i>h</i>_b.