Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружности» для 2-10 класса - сложность 4-5 с решениями
параграф 8. Окружности
НазадЦентры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах <i>AD</i>и <i>BC</i>прямоугольника <i>ABCD</i>. Эти окружности касаются друг друга и прямых <i>AB</i>и <i>CD</i>так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой <i>AB</i>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57650/problem_57650_img_2.gif" border="1"></div>
На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>и на отрезках <i>AC</i>,<i>BC</i>и <i>AB</i>как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой <i>AB</i>. Через точку <i>C</i>проведена прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, и в образовавшиеся криволинейные треугольники <i>ACD</i>и <i>BCD</i>вписаны окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>(рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57649/problem_57649_img_2.gif" border="1"></div>
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.