Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Неравенства» для 9-10 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 3. Неравенства
НазадИз точки <i>O</i>выходит <i>n</i>векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку <i>O</i>, содержится не менее <i>k</i>векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит<i>n</i>- 2<i>k</i>.
Пусть<b>a</b><sub>1</sub>,<b>a</b><sub>2</sub>,...,<b>a</b><sub>n</sub> — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b><sub>1</sub>±<b>a</b><sub>2</sub>...±<b>a</b><sub>n</sub>можно выбрать знаки так, что|<b>c</b>|$\le$$\sqrt{2}$.
На окружности радиуса 1 с центром <i>O</i>дано 2<i>n</i>+ 1 точек<i>P</i><sub>1</sub>,...,<i>P</i><sub>2n + 1</sub>, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.
Дано восемь вещественных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>,<i>e</i>,<i>f</i>,<i>g</i>,<i>h</i>. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел<i>ac</i>+<i>bd</i>,<i>ae</i>+<i>bf</i>,<i>ag</i>+<i>bh</i>,<i>ce</i>+<i>df</i>,<i>cg</i>+<i>dh</i>,<i>eg</i>+<i>fh</i>неотрицательно.
Точки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>лежат на окружности с центром <i>O</i>, причем$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки <i>X</i>справедливо неравенство<i>XA</i><sub>1</sub>+...+<i>XA</i><sub>n</sub>$\ge$<i>nR</i>, где <i>R</i> — радиус окружности.
Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.