Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Симметрия помогает решить задачу»

Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.

В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что если$\angle$<i>BAF</i>=$\angle$<i>BCE</i>= 30^<tt>o</tt>, то треугольник<i>ABC</i>правильный.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂радиуса 1 касаются в точке <i>A</i>; центр <i>O</i>окружности <i>S</i>радиуса 2 принадлежит <i>S</i>₁. Окружность <i>S</i>₁касается <i>S</i>в точке <i>B</i>. Докажите, что прямая<i>AB</i>проходит через точку пересечения окружностей <i>S</i>₂и <i>S</i>.

Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Окружность пересекает стороны<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>C</i>₁и <i>C</i>₂соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через <i>A</i>₂,<i>B</i><sub>2...

Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Пусть<i>P</i>- середина стороны<i>AB</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если площадь треугольника<i>PDC</i>равна половине площади четырехугольника<i>ABCD</i>, то стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>параллельны.