Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции симметрий» для 9 класса - сложность 5 с решениями

Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.

Дано <i>n</i>прямых. Постройте<i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.

а) Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого параллельны заданным <i>n</i>прямым. б) Через центр <i>O</i>окружности проведено <i>n</i>прямых. Постройте описанный около окружности<i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

Две прямые пересекаются под углом $\gamma$. Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда$\gamma$/$\pi$ — рациональное число.