Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Гомотетичные многоугольники» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.

Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n;<i>M</i>₁,...,<i>M</i>_n — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nсоответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>M</i>₁...<i>M</i>_nгомотетичны.