Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Гомотетичные окружности» для 9-10 класса - сложность 4-5 с решениями

В каждый угол треугольника<i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Построены четыре окружности равного радиуса $\rho$так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $\rho$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны <i>r</i>и <i>R</i>соответственно.

Окружности $\alpha$,$\beta$и $\gamma$имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>соответственно. Окружность $\delta$касается внешним образом всех трех окружностей $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что центр окружности $\delta$лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i>ABC</i>.