Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции гомотетий» для 3-10 класса - сложность 3-4 с решениями

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃,<i>S</i>₃и <i>S</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.