Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Наименьший или наибольший угол» для 7-11 класса - сложность 4-5 с решениями

а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/$\sqrt{3}$. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если длины отрезков<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁не превосходят 1, то площадь треугольника<i>ABC</i>не превосходит1/$\sqrt{3}$.

Внутри остроугольного треугольника взята точка <i>P</i>. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки <i>P</i>до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от <i>P</i>до его сторон.