Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 7-8 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры$\Phi$делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Выпуклый многоугольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nлежит внутри окружности<i>S</i>₁, а выпуклый многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_m— внутри<i>S</i>₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек<i>A</i>₁, ...,<i>A</i>_nлежит внутри<i>S</i>₂или одна из точек<i>B</i>₁, ...,<i>B</i>_mлежит внутри<i>S</i>₁.

Назовем выпуклый семиугольник<i>особым</i>, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Среди всех таких чисел <i>n</i>, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части)<i>n</i>треугольников, найдите наименьшее.

На плоскости дано несколько правильных<i>n</i>-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее <i>n</i>углов.

Внутри квадрата<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈. Внутри<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈выбрана точка<i>A</i>₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугол...