Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Инварианты» для 2-10 класса - сложность 1-3 с решениями

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.

Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i>₁,..., <i>A</i>_2<i>n</i>.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.

Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.

Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?