Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Примеры и контрпримеры» для 9-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Арена цирка освещается <i>n</i> различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких <i>n</i> это возможно?

Существуют ли на плоскости три такие точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, что для любой точки <i>X</i>длина хотя бы одного из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и <i>XC</i>иррациональна?

Пусть<i>n</i>$\ge$3. Существуют ли <i>n</i>точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>равны стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>и углы <i>A</i>и <i>C</i>. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м²?