Олимпиадные задачи из источника «глава 29. Аффинные преобразования» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.

Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>являются образами точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при инверсии. Докажите, что: а)${\frac{AC}{AD}}$:${\frac{BC}{BD}}$=${\frac{A^C^}{A^D^}}$:${\frac{B^C^}{B^D^}}$; б)$\angle$(<i>DA</i>,<i>AC</i>) -$\angle$(<i>DB</i>,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>D</i><i>B</i>,<i>B</i><i>C</i>) -$\angle$(<i>D</i>^*<i>A</i><sup&gt...

а) Пусть$\varepsilon$=${\frac{1}{2}}$+${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>c</i>= 0 или<i>a</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>c</i>= 0. б) Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²=<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ac</i>.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>даны точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>соответственно. Докажите: а) если точки <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁симметричны точкам <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>относительно середин соответствующих сторон, то<i>S</i>_MNP=<i>S</i>_M₁N₁P₁. б) если <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁ ...

В параллелограмме<i>ABCD</i>точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>,<i>DA</i>. На сторонах<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>D</i>₁<i>A</i>₁четырехугольника<i>A</i>₁<i>B</i><sub&...