Олимпиадные задачи из источника «глава 29. Аффинные преобразования» для 4-8 класса - сложность 1-3 с решениями
а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку <i>O</i>в данную точку <i>O'</i>, а данный базис векторов <b>e</b><sub>1</sub>,<b>e</b><sub>2</sub> — в данный базис <b>e</b><sub>1</sub>',<b>e</b><sub>2</sub>'. б) Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку <i>A</i>в <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i> — в <i>B</i><sub>1</sub>,<i&...
Пусть <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i> — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>при аффинном преобразовании <i>L</i>. Докажите, что если <i>C</i>делит отрезок<i>AB</i>в отношении<i>AC</i>:<i>CB</i>=<i>p</i>:<i>q</i>, то <i>C'</i>делит отрезок<i>A'B'</i>в том же отношении.
Докажите, что если <i>L</i> — аффинное преобразование, то а)<i>L</i>($\overrightarrow{0}$) =$\overrightarrow{0}$; б)<i>L</i>(<b>a</b>+<b>b</b>) =<i>L</i>(<b>a</b>) +<i>L</i>(<b>b</b>); в)<i>L</i>(<i>k</i><b>a</b>) =<i>kL</i>(<b>a</b>).
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub> — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при аффинном преобразовании. Докажите, что если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B_1}$=$\overrightarrow{C_1D_1}$.
Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.