Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

Точки <i>K</i>и <i>M</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, точки <i>L</i>и <i>N</i>расположены на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>так, что <i>KLMN</i> — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>вдвое больше площади прямоугольника <i>KLMN</i>.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.

Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56772/problem_56772_img_2.gif" border="1"></div>

На стороне <i>AB</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, а на стороне <i>CD</i> — точки <i>C</i>₁и <i>D</i>₁, причем <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>pAB</i>и <i>CC</i>₁=<i>DD</i>₁=<i>pCD</i>, где <i>p</i>< 0, 5. Докажите, что <i>S</i>_{A₁B₁C₁D₁}/<i>S</i>_ABCD= 1 - 2&lt...

На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>CN</i>:<i>ND</i>. Отрезки <i>AN</i>и <i>DM</i>пересекаются в точке <i>K</i>, а отрезки <i>BN</i>и <i>CM</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>S</i>_KMLN=<i>S</i>_ADK+<i>S</i>_BCL.