Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Правильные многоугольники» для 1-11 класса - сложность 4 с решениями

Докажите, что если число <i>n</i> не является степенью простого числа, то существует выпуклый <i>n</i>-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., <i>n</i>, все углы которого равны.

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 6  правильный (<i>n</i>–1)-угольник нельзя так вписать в правильный <i>n</i>-угольник, чтобы на всех сторонах <i>n</i>-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (<i>n</i>–1)-угольника.

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.