Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Правильные многоугольники» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 6. Правильные многоугольники
НазадПравильный многоугольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub><i>n</i></sub> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, <i>X</i> — произвольная точка.
Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>X</i>² + ... + <i>A</i><sub><i>n</i></sub><i>X</i>² = <i>n</i>(<i>R</i>² + <i>d</i>²), где <i>d = OX</i>.
Точка <i>A</i> лежит внутри правильного десятиугольника <i>X</i><sub>1</sub>...<i>X</i><sub>10</sub>, а точка <i>B</i> — вне его. Пусть <b><i>a</i></b> = <img width="38" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_2.gif"> + ... + <img width="38" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_3.gif"> и <b><i>b</i></b> = <img width="39" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_4...
В правильном <i>n</i>-угольнике (<i>n</i> ≥ 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57068/problem_57068_img_2.gif" border="1"></div>
Все углы выпуклого многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> равны, и из некоторой его внутренней точки <i>O</i> все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.
Число сторон многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.