Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Правильные многоугольники» для 7-11 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что если число <i>n</i> не является степенью простого числа, то существует выпуклый <i>n</i>-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., <i>n</i>, все углы которого равны.

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 6  правильный (<i>n</i>–1)-угольник нельзя так вписать в правильный <i>n</i>-угольник, чтобы на всех сторонах <i>n</i>-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (<i>n</i>–1)-угольника.

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике <i>A</i>₁...<i>A</i>₃₀ следующие тройки диагоналей:

  а) <i>A</i>₁<i>A</i>₇, <i>A</i>₂<i>A</i>₉, <i>A</i>₄<i>A</i>₂₃;

  б) <i>A</i>₁<i>A</i>₇, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₅, <i>A</i>₄<i>A</i>₂₉;

  в) <i>A</i>₁<i>A</i>&lt...