Олимпиадные задачи из источника «параграф 10. Многоугольники» для 8-11 класса - сложность 4 с решениями

а) Выпуклые многоугольники <i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>B</i>₁...<i>B</i>_nтаковы, что все их соответственные стороны, кроме <i>A</i>₁<i>A</i>_nи <i>B</i>₁<i>B</i>_n, равны и $\angle$<i>A</i>₂$\geq$$\angle$<i>B</i>₂,...,$\angle$<i>A</i>_{n - 1}$\geq$$\angle$<i>B</i>_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что <i>A</i>₁<i>A</...

Докажите, что при <i>n</i>$\geq$7 внутри выпуклого <i>n</i>-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Внутри правильного многоугольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_nвзята точка <i>O</i>. Докажите, что по крайней мере один из углов <i>A</i>_i<i>OA</i>_jудовлетворяет неравенствам $\pi$(1 - 1/<i>n</i>)$\leq$$\angle$<i>A</i>_i<i>OA</i>_j$\leq$$\pi$.

Правильный 2<i>n</i>-угольник <i>M</i>₁со стороной <i>a</i>лежит внутри правильного 2<i>n</i>-угольника <i>M</i>₂со стороной 2<i>a</i>. Докажите, что многоугольник <i>M</i>₁содержит центр многоугольника <i>M</i>₂.

Внутри выпуклого многоугольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_nвзята точка <i>O</i>. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине <i>A</i>_k,<i>x</i>_k=<i>OA</i>_k,<i>d</i>_k — расстояние от точки <i>O</i>до прямой <i>A</i>_k<i>A</i>_{k + 1}. Докажите, что $\sum$<i>x</i>_ksin($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$$\sum$<i>d</i>_kи $\sum$<i>x</i>_kcos($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$<i>p</i>, где <i>p</i&g...

Плоский многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nсоставлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.

Семиугольник <i>A</i>₁...<i>A</i>₇вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах <i>A</i>₁,<i>A</i>₃,<i>A</i>₅меньше 450^<tt>o</tt>.